2018_2019学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1.1椭圆及其标准方程课件北师大版选修2_1ppt版本

发布时间:2021-07-30 15:47:20

第三章 圆锥曲线与 方程

第三章 圆锥曲线与 方程
§1 椭 圆
1.1 椭圆及其标准方程

第三章 圆锥曲线与 方程

学*导航

1.了解椭圆的实际背景.

学* 目标

2.理解椭圆的定义和标准方程.(重点)

3.掌握由已知条件求椭圆的标准方程.(难点)

1.通过自己画椭圆的过程,发现椭圆形成条件,抽象
学法 出椭圆的定义,培养把握了解本质的能力. 指导 2.通过椭圆方程的推导、化简、等价性分析的过程,
体会坐标法的应用,养成严谨的科学态度.

1.椭圆的定义
(1)椭圆的定义 *面内到两个定点F1,F2的距离之和等于__常__数__大于|F1F2|)的 点的集合叫作____椭__圆__. 这离两叫个作定椭点圆的F1,__F_2_叫_焦_作_距_椭.圆的__焦点____,两个焦点F1,F2间的距

(2)椭圆的集合表示 设M是椭圆上任意一点,椭圆的两个焦点为F1,F2,根据椭圆 的定义可知,椭圆可以视为动点M的集合,表示为 __{_M_|_|M__F_1_|+__|_M__F_2_|=__2_a_,__2_a_>_|_F_1_F_2_|,__a_为__常__数__}_.

2.椭圆的标准方程 椭圆上任意一点的 坐标都是方程xa22+yb22= 1 (a>b>0)的解, 以方程xa22+yb22= 1(a>b>0)的解
为坐标的点都在椭 圆上,我们将方程 ___xa_22_+_yb_22_=__1_(a>b>0)叫作焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程,焦点 坐标是 F1(-c,0),F2(c,0),其中__c_2=__a__2-__b_2___.

同样地,我们将方程__ya_22_+__xb_22_=__1_(a>b>0)叫作焦点在y轴上的
椭圆的标准方程.焦点坐标是F1(0,-c),F2(0,c),其中 __c_2=__a_2_-__b_2__.如图所示.

1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)*面内动点P到两定点A,B的距离之和|PA|+|PB|= 2a(a>0且为常数)是P点的轨迹为椭圆的必要不充分条√件( ) (2)椭圆标准方程中,“标准”的条件是椭圆的焦点在坐标轴 上,且两焦点关于原点对称( √ ) (3)椭圆的特殊形式是圆,这时焦点重合( × ) (4)椭圆的两种标准形式中,虽然焦点位置不同,但都具备a2 =b2+c2( √ )

2.(2014·广东实验中学高二期末)椭圆x2 +y2 = 1 的焦距等于 93

( D)

A.4 3

B.2 3

C. 6

D.2 6

解析:c2=a2-b2=9-3=6,c= 6,焦距 2c=2 6.

3.(2014·天津五区县高二期

末)已知方程xm2+

y2 2m-

=1 1

表示的曲

线是焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 m 的取值范围为( D )

A.(0,1)

B.(1,+∞) 2

C.(0,1) 2
解析:由题意知 m>2m-1>0,∴1<m<1. 2

D.(1,1) 2

4.(2014·大连高二检测)椭圆x2+y2=1 92

的焦点为

F1,F2,

点 P 在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2|=___2_____.

解析:a=3,|PF1|=4,由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=6 ,∴|PF2|=6-|PF1|=6-4=2.

求椭圆的标准方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦点分别为(0,-2)、(0,2),经过点(4,3 2); (2)过点( 3,- 5),且与椭圆y2 +x2=1 有相同的焦点;
25 9 (3)经过两点(2,- 2)和(-1, 14).
2 (链接教材第三章 1.1 例 2)

[解] (1)因为椭圆的焦点在 y 轴上,可设其标准方程 为ya22 +xb22= 1(a>b>0).
法 一 : 由 椭 圆 的 定 义 知 2a = (4-0)2+(3 2+2)2 +
(4-0)2+(3 2-2)2=12,∴a=6. 又 c=2,∴b2=a2-c2=32,所以椭圆的标准方程为y2 +x2 =1.
36 32

法二:由于椭圆过点(4,3 2),∴1a82 +1b62 =1①.
又 c=2,∴a2-b2=4②, 由①②解得 a2=36,b2=32,所以椭圆的标准方程为y2 +x2 =
36 32
1. (2)因为所求椭圆与椭圆y2 +x2=1 的焦点相同,所以所求椭圆
25 9 的焦点在 y 轴上,且 c2=25-9=16.

法一:设所求椭圆的标准方程为ya22+xb22=1(a>b>0).因为 c2=16,

且 c2=a2-b2,所以 a2-b2=16 ①.又所求椭圆过点( 3,- 5),

所以(-a25)

2( +

3) b2

2


1,即a52+b32=

1

②.

由①②得 b2=4,a2=20,所以所求椭圆的标准方程为y2 +x2 20 4

= 1.

法二:设所求椭圆 方程为 λ

y2 + +25 λ

x2 +

= 9

1(λ>-

9),

把(

3,-

5)代入有 λ

5 +

+ 25 λ

3 +

= 1, 9

解得 λ=-5 或 λ=-21(舍). 故所求椭圆方程为y2 +x2=1.
20 4

(3)设椭圆的一般方程为 Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).将两

点(2,-

2),(-1,

14)代 2

入一般方程

??4A+2B=1 ,得??? A+144B= 1,解

得??A=18, ?B=14

所以所求椭圆的标 准方程为x2+y2 = 1. 84

方法归纳

求椭圆的标准方程必须先判断焦点的位置,进而确定所求方程

的形式.如果焦点的位置不确定,一般要分类讨论,或设为一

般式 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).与xa22+yb22=1(a>b>0)共焦

点的椭圆可设为 λ

x2 +

a2+λ

y2 +

b2=

1(λ>-

b2).

1.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦距是10,且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26. (2)经过点(2,-3),且与椭圆9x2+4y2=36有共同焦点.

解:(1)由题意知 2c=10,2a=26,所以 c=5,a=13,所以 b2

=a2-c2=132-52=144.因为焦点所在的坐标轴不确定,所以所

求椭圆的标准方程为 x2 + y2 =1 或 y2 + x2 =1.

169 144

169 144

(2)椭圆 9x2+4y2=36 的焦点坐标为(0,- 5),(0, 5). 设所求椭圆的标准 方程为ya22+xb22 = 1(a>b>0). ∵点 (2,- 3)在椭圆上,∴a92 +b42 = 1.①
又 c= 5,故 a2=b2+5,② 整理①②,解得 b2=10,或 b2=-2(舍去),
∴ a2= b2+ c2= 15. ∴所求椭圆的标准方程为 y2 +x2 =1.
15 10

椭圆的定义及其应用

(1)(2014·湖南师大附中高二检测 )设

F1,F2

是椭圆xa22

+ y2 25

=1(a>5)的两个焦点,且|F1F2|=8,弦 AB 过点 F1,则△ABF2

的周长为( D )

A.10

B.20

C.2 41

D.4 41

(2)(2014·安阳高二检测)椭圆x2 +y2 =1 上一点 P 与椭圆的两个 49 24

焦点 F1,F2 的连线互相垂直,则△PF1F2 的面积为( D )

A. 20

B. 22

C. 28

D. 24

[解析] (1)2c=|F1F2|=8,c=4,a2=b2+c2=25+16=41,a
= 41,
故△ABF2 的周长为|AB|+|F2A|+|F2B|=4a=4 41. (2)c2= a2- b2= 49- 24= 25,c= 5,|F1F2|= 10,设 |PF1 |= r1,|PF2 | = r2, 由题意知 r21+r22=100,① 又根据椭圆定义,知 r1+r2=14,② 由①②易得 r1r2=48.故 S△PF1F2=12r1r2=24.

方法归纳 (1)利用椭圆定义可判断动点的轨迹是否为椭圆或椭圆的一部 分. (2)过椭圆焦点的弦问题,常利用定义解决. (3)焦点三角形(以椭圆上一点及两焦点为顶点的三角形)问题, 利用椭圆定义和三角形有关知识(如正、余弦定理)求解.

2.(1)(2014·广东实验中学高二期中) 如图,F1、F2 分别为椭圆xa22+ yb22=1 的左、右焦点,点 P 在椭圆上,
△POF2 是面积为 3的正三角形, 则 b2 的值是__2__3____. (2)(2014·南京市高二期末)在*面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆y2
4 +x2=1 的上焦点为 F,直线 x+y-1=0,x+y+1=0 与椭圆
3
分 别相交 于点 A, B, C, D, 则 |AF|+ |BF|+ |CF|+ |DF|= ____8____.

解析:(1)因为 F1、F2 分别为椭圆的左、右焦点,点 P 在椭圆上, 且正三角形 POF2 的面积为 3,所以 S△POF2=12·|OF2|·|PO|sin

60°= 3c2= 3,所以 c2=4. 4

∴点 P 的坐标为??c2, 23c??,即(1, 3),∴a12+b32=1,



b2+

c2=

a2,所以?????ba22+=

3a2= 4+ b2

a2b2 ,解得

b2= 2

3.

(2)如图,两条*行直线分别经过椭圆的两个焦点,连接 AF1、 FD.由椭圆的对称性可知,四边形 AFDF1(其中 F1 为椭圆的下焦 点)为*行四边形,∴|AF1|=|FD|,同理|BF1|=|CF|,∴|AF|+|BF| +|CF|+|DF|=|AF|+|BF|+|BF1|+|AF1|=4a=8.

与椭圆有关的轨迹问题
如图,在圆C:(x+1)2+y2=25内有一点A(1,0),Q为 圆C上一点,AQ的垂直*分线与C,Q的连线交于点M,求点M 的轨迹方程. (链接教材第三章1.1例1)

[解] ∵M 在线段 CQ 上,∴|CQ|=|MQ|+|MC|.又 M 在 AQ 的

垂直*分线上,连接 MA,则|MA|=|MQ|,∴|MA|+|MC|=|CQ|

=5>|CA|.又 A(1,0),C(-1,0),

∴点 M 的轨迹是以(1,0),(-1,0)为焦点的椭圆,其中 2a=5,



a=5,则 2

b2=??52

??2-

12=21.故点 4

M

的轨迹方程为x2 +y2 =1. 25 21

44

方法归纳 (1)此类问题有两种常见思路: 一是通过条件中的等量关系列出等式,化简得出方程(直接 法);二是分析图形的几何性质,判断动点是否符合椭圆的定 义(定义法). (2)此类问题注意三点:一是若需建立坐标系时,要考虑建系 不同得出的方程不同;二是不在轨迹上的点要挖去(可对方程 加上限制条件);三是求轨迹要根据所求方程说明其轨迹图 形.

3.(2014·沧州高二检测)求过点P(3,0)且与圆x2+6x+y2-91=

0相内切的动圆圆心的轨迹方程.

解:圆方程配方整理得(x+3)2+y2=102,圆心为 C1(-3,0),

半径为 R=10.设所求动圆圆心为 C(x,y),半径为 r,依题意有

??|PC|=r,
?

消去

??|CC1|=R-r,

r



R-|PC|=|CC1|?|PC|+|CC1|=R,即

|PC|+|CC1|=10.又 P(3,0),C1(-3,0),且|PC1|=6<10.可见 C

点是以 P,C1 为两焦点的椭圆,且 c=3,2a=10,∴a=5,从 而 b=4,故所求的动圆圆心的轨迹方程为x2 +y2 =1.
25 16

易错警示

椭圆问题的四种常见错误

(1)已知F1,F2为两定点,|F1F2|=4,动点M满足|MF1|+

|MF2|=4,则动点M的轨迹是( D)

A.椭圆

B.直线

C.圆

D.线段

(2)若方

程 x2 7-

+ k

y2 k-

= 5

1

表 示椭圆 ,则实 数

k

的取值范围是

___(_5_,__6_)_∪__(_6_,__7_) ___.

(3)已知椭圆的标准方程为2x52 +my22=1(m>0),并且焦距为 6,则
实数 m 为__4__或___3_4_____.
(4)已知 B,C 是两个定点,|BC|=6,且△ABC 的周长等于 16, 则顶点 A 的一个轨迹方程为
x2 +y2 =1(y≠0)(或y2 + x2 =1(x≠0)) _2_5___1_6____________2_5___1_6______________.

[解析] (1)∵|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|, ∴动点 M 的轨迹是线段 F1F2.
??7-k>0 (2)由题意可知?k-5>0 ,
??7-k≠k-5
∴ k∈ (5, 6)∪(6, 7). (3)∵2c=6,∴c=3.当椭圆的焦点在 x 轴上时,由椭圆的标准 方程知 a2=25,b2=m2,a2=b2+c2,得 25=m2+9,∴m2=16, 又 m>0,故 m=4.当椭圆的焦点在 y 轴上时,由椭圆的标准方 程知 a2=m2,b2=25,a2=b2+c2,得 m2=25+9=34,又 m>0,
故 m= 34.综上,实数 m 的值为 4 或 34.

(4)如图(1),建立*面直角坐标系,可得 B 点坐标(-3,0),C
点坐标(3,0),由于|AB|+|AC|=16-6=10,且 10>6,据椭圆 的定义知,点 A 的轨迹方程为x2 +y2 =1.(y≠0).本题若建立如
25 16 图 (2)所示 的坐 标系时 ,求 得点 A 的 轨 迹方程 为 y2 + x2 =
25 16
1(x≠0).

[错因与防范] (1)本例(1)易忽略椭圆定义中的条件误选A; (2)易忽略椭圆标准方程的隐含条件(a>0,b>0,a≠b); (3)易主观认为焦点在x轴而忽略讨论焦点在y轴的情况; (4)忽略对方程加限制条件. 在求解上述有关问题时要注意以上四种常见错误.

4.(1)(2014·赣州市四校联考)设定点 M1(0,-3),M2(0,3),动 点 P 满足条件|PM1|+|PM2|=a+9a(其中 a 是正常数),则点 P 的

轨迹是( C )

A.椭圆 B.线段

C.椭圆或线段 D.不存在

(2)(2012·高考北京卷改编)已知曲线 C:(5-m)x2+(m-2)y2=

8(m∈R).若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆,则 m 的取值范围

(7,5) 是 __2______.

解析:(1)∵|PM1|+|PM2|=a+9a≥2 a·9a=6=|M1M2|.

∴P 点的轨迹是椭圆或线段,选 C.

(2)由(5-m)x2+(m-2)y2=8,得 x2 + y2 =1.

8

8

5-m m-2

因为椭圆的焦点在 x 轴上,∴5-8 m>m-8 2>0,解得72<m<5.

技法导学 直接法、代入法求与椭圆有关的轨迹方程
(1)如图,设点 A,B 的坐标分别为(-5,0),(5,0).直 线 AM,BM 相交于点 M,且它们的斜率之积是-4,求点 M 的
9 轨迹方程.

(2)如图,设 P 是圆 x2+y2=25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上
的投影,M 为 PD 上一点,且|MD|=4|PD|.当 P 在圆上运动时, 5
求点 M 的轨迹 C 的方程,并判断此曲线的类型.

[解] (1)设点 M 的坐标为(x,y),因为点 A 的坐标是(-5,0),

所以,直线

AM

的斜率

kAM=x+y

(x≠- 5

5);同理,直线

BM



斜率

kBM=x-y

(x≠ 5

5).由已知有x+y

×y 5 x-

=-4(x≠ 59

±5),



简,得点 M 的轨迹方程为x2 + y2 =1(x≠±5). 25 100

9

(2)设点 M 的坐标为(x,y),点 P 的坐标为(x0,y0),则 x=x0,y

=45y0.因为点 P(x0,y0)在圆 x2+y2=4 上,

所以 x20+y20=4.①

把 x0=x,y0=54y 代入方程①,

得 x2+25y2=4,即x2+y2 =1.②

16

4 64

25

所以点 M 的轨迹是一个椭圆.

[感悟提高] 求轨迹方程问题的常用方法 (1)若已知曲线类型,用待定系数法; (2)若根据条件能判断出曲线类型用定义法; (3)若所求轨迹的动点随一个已知轨迹方程的动点而变化,用 代入法; (4)若不是上述三种情况,常用直接法.

谢谢


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