(整理)初中数学九年级下册《圆的对称性》教案设计

发布时间:2021-07-30 14:23:31

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课 题:第三章 第 2 节圆的对称性(1) 课 型:新授课 教学目标:
1. 理解圆的对称性(轴对称)及有关性质.(重点) 2.理解垂径定理及推论,并会运用其解决有关问题.(难点)
教法与学法指导:
这节课主要通过“找圆心”等问题情境激发学生探究的兴趣和热情,经历“操作实践— 大胆猜测---综合证明----灵活应用”的课堂模式,在探究垂径定理过程中,让学生领会数学 的严谨性,并培养学生的数学应用意识,勇于探索的精神.
课前准备:制作课件,学生预*学案. 教学过程:
一、情景导入 明确目标
组织教学:准备,给每一位同学发放圆形纸片(用化学滤纸);并提出问题,(问题 1) 通过 上节课《车轮为什么是圆形》的学*,认识了圆的基本概念,这是一张圆形纸片,你有什么办 法找出它的圆心呢? 学生活动 :学生凭借经验很容易想到用两次折叠的方法,找到圆心. [师]:同学们上一节课,我们学*了圆的基本概念,知道,半径定圆的大小,圆心定圆的位置. 下面,请一位同学到前面演示自己找圆心的过程. 学生演示:
[师]:(问题 2) 在折叠的过程中,你从中还知道圆具有什么性质? [生 1]:老师,圆是对称图形,既是轴对称图形,又是中心对称图形. [师]:很好,同学们观察的很认真,这节课,我们重点研究圆的轴对称性,那么,圆的对称 轴是怎样的直线,有多少条对称轴? [生 2]:老师,圆的对称轴是直径,它有无数条对称轴. [师]:同学们,这位同学回答的对吗? [生 3]:不正确,对称轴应该是直线,而直径是线段,应该说,对称轴是直径所在的直线, -------------

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或者是过圆心的直线. 教师活动:进行鼓励表扬并板书,3.2 圆的对称性(1)
圆的对称性:圆是轴对称图形,对称轴是任意一条过圆心的直线.
设计意图:问题可以激发学生学*数学的兴趣,而兴趣又是最好的老师.通过设计 一连串的问题情境容易引发学生学*和探究的兴趣,在动手操作中既复*圆的意 义,又探索到圆的对称性. 二、自主学* 合作探究:
探究活动一:圆的基本概念 (让学生注意观察动画课件)

M B A

D

O

C

O

O

F

E

学案(问题 3): (1)什么是弦?什么是弧?如何区别?怎么表示? (2)弧与弦分别可以分成几类?它们如何区分? 学情预设:可能出现的 情形一:学生看书后能理解弦、弧、优弧、劣弧及半圆的意义,但是难以区别异同,如:弦
是线段,弧是曲线段;直径是弦,但弦不一定是直径;半圆是弧,但弧不一定是半 圆;半圆既不是劣弧,也不是优弧. 情形二:学生写出的弧可能重复或遗漏,不能掌握“优弧与劣弧成对出现”的规律. 情形三:优弧的表示方法. 以上若学生不能讨论总结得出,则需要老师引导得出结论. 学生活动:学生在预*的前提下边观察图形演示边独立思考,再在四人小组间交流讨论. 教师活动:参与学生的讨论,注意收集信息,以便及时补充,然后提问. [生 1]: (1)连接圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫直径. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧;直径的两个端点把圆分成两个部分,每一部分叫
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做半圆.大于半圆弧叫优弧,小于半圆的弧称为劣弧.

[生 2]:弦是线段,弧是曲线段.弧的表示方法是在两个端点上面添加“︵“符号.

[生 3]:弦分为过圆心的和不过圆心的弦;弧分为劣弧、半圆、优弧. [师] 同学们总结的很好,下面,结合图形加深认识,并思考,你还可以得出什么性质.

M B A

D

O

C

O

O

F

E

劣弧AB AB

半圆CD

优弧AB AMB

教师活动:引导学生,能不能从它们之间的相互关系来比较说明.

[生 4]:直径是弦,但弦不一定是直径;半圆是弧,但弧不一定是半圆;半圆既不是劣弧,

也不是优弧.

[生 5]:直径是圆中最大的弦.

学生活动:整理好笔记.

设计意图:让学生带着问题探究,加强自主探究的针对性,激发思考与交流,从 而真正掌握它们的本质与异同,学会辨证统一、分类讨论地解决问题,提高课堂 效率.
探究活动二:垂径定理

(问题 4)

(1)刚才折出的两条直径是怎样的位置关系?图中能得出哪些等量关系? (2)若把 AB 向上*移到任意位置,成了不是直径的弦,折叠后猜想:还有与刚才类似的结 论吗?有哪些方法证明你的猜想正确与否? (3)思考:上述探索过程利用了圆的什么性质?还运用了哪些知识?若只证明 AM=BM, 还有什么方法? (4)把上述发现归纳成文字语言和几何语言.

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学生活动:拿出圆形纸片,将其对折,得到一条折痕 CD,在 CD 上取一点 M,作 CD 的垂线 AB,然后再将圆沿 CD 对折,观察,得出结论.

[生 1]:垂直关系;相等的量有,AM=BM, AC =BC , AD =BD

因为圆沿直线

CD 对折后,点 A 与 B 重合.

[生 2]: 若只证明 AM=BM,

C

还可以用等腰三角形“三线合一”.

A

M

B

证明:连接 OA,OB 则 OA=OB
O
又 ∵CD⊥AB

∴AM=BM,CD 是线段 AB 的垂直*分线

∴点 A 和点 B 关于直线 CD 对称

D

∴ AC =BC , AD =BD

教师

活动:引导学生总结并板书

文字语言和几何语言:

垂径定理: 垂直于弦的直径*分这条弦,并且*分弦所对的(两条)弧.

如图,在⊙O 中,即①②→③④⑤

① CD 是直径

③AM=BM,

C

A

B M

?

④ AD=BD

O

② CD⊥AB 于 M

⑤ AC=BC

D

设计意图:用运动变化的观点体会从特殊到一般研究问题的方法,在折叠中领会

定理的证明思路,突出重点、突破难点,培养学生的逻辑思维能力,提高学生的

概括、总结的语言表达能力.

探究活动三:垂径定理的推论

议一议:

(问题 5)同学们,如果把“垂径定理”中的条件“垂直于弦”与结论“*分于弦”互换,即:

①③→②④⑤,结论是否还成立?如果成立,请你说明理由;不成立,请举反例.

学情预设: 大多数学生会模仿定理画图、折叠、推理后认为是成立的,可能有个别学生会

持反对意见,引起一番有意义的讨论,老师可以适时地引导.当 AB 与 CD 是⊙O 的直径时,

互相*分,但不一定垂直!只有当弦 AB 不是直径时,结论才会成立.

[生 1]: 成立. -------------

C

A

B M

O

D

-------------

∴OA=OB,AM=BM,

∴ CD⊥AB(三线合一)

C

B

∴ AC =BC , AD =BD [生

2]:不一定成立,如图,当 AB 是直 A

M O

径时,

D

CD *分 AB,但不垂直 AB.只有 AB 不是直径时,才成立.

[师]: 同学们讨论的非常好,做数学就是要求我们思维要严谨,注意,条件与图形的统一

及多样性,多画图,多分析,多总结.那么这个推论我们应该怎么说?

在学生的归纳中,板书.

垂径定理的推论:

*分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且*分弦所对的两条弧.

(问题 6)如果我们继续交换条件是否能够②③→①④⑤、①④→②③⑤、④⑤→①②③?

学生活动:采取折叠-重合-得出结论成立.

师生共同归纳总结:由 “①直径、②垂直于弦、③*分弦、④*分优弧、⑤*分劣弧”,其 中两个作条件推出另三个结论.
设计意图:对教材知识进行适当的变式和拓展,让学生能举一反三,发散学生的

思维,让不同层次的学生得到不同的发展,并体验数学的严谨性和探究的乐趣,

感受合作交流的重要性.

(问题 7)例题分析

例 1:如右图所示,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧 CD,

点 O 是弧 CD 的圆心),其中 CD=600m,E 为弧 CD 上一点,且

OE⊥CD,垂足为 F,EF=90 m.求这段弯路的半径.

学生活动:观察示意图,分析题目的已知和要求的结果,寻求相

互关系,然后尝试独立解答,在与小组其他同学交流,确定解题

思路.

教师活动:与个别学生交流解题思想方法,让其上黑板板演过程,并说明为什么这样解答.

[生]:解:连接 OC,设弯路的半径是 R,则

OF=(R-90))m

∵OE⊥CD

-------------

-------------

∴CF=CD/2=300m(垂径定理)

由勾股定理得

OC2=CF2+OF2

即 R2=3002+(R-90)2

解得 R=545

所以,弯路的半径是 545m.

设计意图:让学生在实践中理解垂径定理应用,在四个量半径 R、弦 CD 的长、弦 心距 OF 长、弓形高 EF 的长中,任已知两个量可以求出另两个量.一题多变,多 题归一,探寻规律,构造直角三角形后通过勾股定理求解,从题海中解脱出来,

并培养学生的数学应用意识,体会数学与生活的联系.

三、归纳总结,拓展提高

[师]:同学们,我们本节课学*了垂径定理及推论,理解了与圆有关的应用,你有收获,或

者是疑虑问题,交流一下.

学生活动:有独立思考,落笔组织语言的,也有相互讨论,交流总结的观点的,气氛相当热

烈,各抒己见. [生]:老师,如图,OC⊥AB,可不可以使用垂径定理. [师]:可以,这条线(或线段)过圆心,就可以作为直径使用,

C

AM

B

O

同时,过圆心作弦的垂线是今后解答圆的问题的常用辅助线,在以

后的学*中,注意体会和总结.

设计意图: 用问题形式引导学生回顾总结学*过程,使知识系统化,学会提炼其

中蕴含的数学思想方法,且能够灵活应用;学会自我反思,养成良好的数学学*

*惯.

课堂检测:
1.已知⊙O 的半径为 5,弦 AB 的长为 6 ,则这条弦的中点到弦所对劣弧中点的距离为____.
考察知识点:理解垂径定理的意义,会构造符合定理的基本图形,来解决问题.
答案提示: 解:过 O 点作 AB 的垂线,垂足是 D,且与弧 AB 交于点 C,连接 OA, ∵OC⊥AB ∴D 是 AB 的中点,C 是弧 AB 的中点,

∴ OD= 52-32=4
∴DC=5-4=1 所以,这条弦的中点到弦所对劣弧中点的距离为 1

C

A

DB

O

-------------

-------------

2.两个同心圆中,大圆的弦 AB 交小圆于 C、D,若 AB=4,CD=2,圆心到 AB 的距离为 l, 则大圆的与小圆的半径之比为____________.
考察知识点:理解垂径定理的使用,加深认识辅助线“弦心距和半径”经常是成 对构造的,以便构造直角三角形,解决问题.
答案提示:

解: OA ? 22 ?12 ? 5

A C E DB O

OC ? 12 ? 12 ? 2

则大圆的与小圆的半径之比为 5 ? 10 22

3. 储油罐的截面如图所示,装入一些油后,若油面宽 AB=600mm, 求油的最大深度.
考察知识点:主要是检测垂径定理在生活中的应用,解决此类问 题的关键是画出示意图,转化为数学问题解答.

答案提示:由垂径定理知, oc ? 3252 ? 3002 ? 125mm

油最大深度=325-125=200(mm)

A

4.已知:如图,⊙O 中, AB 为 弦,C 为 AB 的中点,OC 交 AB 于

D ,AB = 6cm ,CD = 1cm. 求⊙O 的半径 OA.

考察知识点:数学方法的综合应用,主要是方程知识与图形解答

的结合.
答案提示:
解:设⊙O 的半径为 r

C

A

B

D

在直角三角形 AOD 中,

O

AD2 ? OD2 ? OA2

C B
D
O

所以, 32 ? (r ?1)2 ? r 2
∴r=5cm ∴OA=5cm
学情预设:部分同学可以当堂完成,教师,当堂批改,及时知道学生的解答情况;部分同学 需要老师的引导,才能完成解答.

教师活动:通过检查,关键看学生的图形构造,是否能够利用半径和弦心距构造出直角三角 -------------

------------形,运用勾股定理解决问题.
设计意图:通过例题的分析学*,让学生体会数学学*要善于构造图形,解决问 题;进一步理解,为了应用条件和已有的性质定理,需要添加辅助线来完善图形, 从而培养学生良好的学**惯.

板书设计:

一、圆的对称性 圆是轴对称图形,

3.2 圆的对称性(1)

二、垂径定理

三、垂径定理的推论及应用

垂直于弦的直径*分这条弦

例题解答

对称轴是任意一条过 并且*分弦所对的(两条)弧 圆心的直线,

教学反思:
《圆的对称性》是一节操作性较强的课,所以,我在教学中首先创设“找圆心”情境, 让学生感到新颖、有趣同时又注重了垂径定理及推论的发生、发展和应用过程的教学;再以 连贯的问题串形式步步深入,层层*伎迹行Ъせ钛嘉. 让学生真正体验了探 索获取新知的成绩感和成功感,同时也达到了培养学生学*主动性和创造性的目的;最后, 通过提供有层次的达标检测题让学生应用所学解决实际问题.孩子们在解决问题的同时享受 到了成功的喜悦,个性得到了彰显,解决问题的能力也得到了充分的提升,更感受到数学的 价值,从而更加热爱数学学*.
感到课堂不足的地方是,本节课学生操作和自主学*的时间多,每个环节的衔接要流畅, 才能在课堂上完成,所以本节课要提前发放导学案,才能顺利完成课堂教学任务.

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