2018_2019学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4.1曲线与方程课件北师大版选修2_1ppt版本

发布时间:2021-07-30 14:32:30

第三章 圆锥曲线 与方程
§4 曲线与方程
4.1 曲线与方程

第一章 常用的逻辑 用语
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1.了解曲线和方程的关系. 学* 2.理解曲线与方程的概念.(重点) 目标 3.掌握用直接法、定义法、代入法、参数法、交
轨法等求方程的方法和步骤.(难点) 1.通过直线、圆和圆锥曲线与其方程的关系,理解 学法 曲线上的点与其方程的实数解的一一对应关系. 指导 2.通过直接法等求曲线的方程,体会直接法等在 求曲线方程中的应用.

1.曲线与方程的概念 一般地,在*面直角坐标系中,如果某曲线C(看作满足某种 条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立 了如下的关系: (1)曲线上点的坐标都是__这__个___方__程__的__解___; (2)以这个方程的解为坐标的点都在____曲__线__上____, 那么,这条曲线叫作方程的曲线,这个方程叫作曲线的方程.

2.求曲线方程(直接法)的一般步骤 (1)建立适当的坐标系,用___(x_,__y_)___表示曲线上任意一点M 的坐标; (2)写出符合条件的点M的集合_D__=__{_M_|_p_(M__)_}; (3)用坐标表示条件p(M),列出方程__f_(_x_,__y)_=__0__; (4)化方程f(x,y)=0为最简形式; (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.简记为: 建系、列式、代换、化简、证明. 一般地,步骤(5)可以省略不写,如有特殊情况,可以适当说 明,另外也可以省略(2),直接列出曲线方程.

3.求曲线方程的方法 (1)按动点的特点求轨迹方程一般有下列几种方法: ①条件直译法(直接法) 基本思想:根据形成轨迹的几何条件和图形性质,直接写出 所求动点坐标满足的关系,即题设中有明显的等量关系的, 或可用*面几何知识推出等量关系的,可用直译法. ②定义法 定义法求轨迹有两种类型,一是若能确定动点的轨迹满足某 已知曲线的定义(如圆、椭圆、双曲线、抛物线等),则可根 据曲线的定义直接写出轨迹方程;二是动点的轨迹与圆锥曲 线有关,则可运用圆锥曲线定义求出动点的轨迹方程.

③相关点代入法 基本思想:如果所求轨迹中的动点,随着另一动点的运动而 运动,而另一动点又在某一条已知曲线C:f(x,y)=0上运动. 此类问题常设法利用轨迹中的动点坐标(x,y),表示已知曲 线上的动点坐标(x1,y1),再将它代入已知曲线C的方程f(x, y)=0即可. ④参数法 基本思想:有时很难直接找出动点的坐标满足的关系,可借 助中间变量——参数,建立动点坐标x、y之间的联系,然后 消去参数得到曲线方程.使用参数法求轨迹方程的关键是选 择恰当的参数和如何消去参数.解题的一般步骤为:引入参 数——建立参数方程——消去参数,得到一个等价的普通方程.

注意:设立参数的原则:突出主要矛盾,抓住问题的关键, 使运算相对简便,通常与圆有关的问题,设角为参数;与过 定点的直线有关的问题,与两条互相垂直的直线有关的问题, 设直线的斜率为参数;与动点有关,与两条直线或直线与曲 线的交点有关的问题,设点的坐标为参数.

⑤交轨法 在求动点轨迹时,有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题, 这类问题常常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标,再消 去参数求出所求轨迹的方程,该法经常与参数法并用. (2)求曲线的方程要注意以下几点,这也是在求轨迹方程时需 要注意的: ①坐标系建立的不同,同一曲线的方程也不同. ②一般地,求哪个点的轨迹方程,就设哪个点的坐标是(x,y), 而不是设成(x1,y1)或(x′,y′)等.

③化简方程化简到什么程度,课本没有给出明确的规定,一 般指将方程f(x,y)=0化成x,y的整式.如果化简过程破坏了 同解性,就需要剔除不属于轨迹上的点,找回属于轨迹而遗 漏的点. ④“轨迹方程”是坐标关系式,是一个方程,有时要在方程 后根据需要指明变量的取值范围,而“轨迹”是点的集合, 是曲线,是几何图形.故求点的轨迹除了写出方程外,还必 须指出这个方程所代表的曲线的形状、位置、范围、大小等. 所以说,求轨迹方程和求轨迹是有所不同的.

4.两曲线的交点 已知两条曲线 C1、C2 的方程分别为 F(x,y)=0,G(x,y) =0,则点 P0(x0,y0)是 C1、C2 的交点??????FG((xx00,,yy00))==00,. 方程组有 n 组不同的实数解,两条曲线就有 n 个不同的交 点;方程组没有实数解,曲线就没有交点.

1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在求曲线方程时,如果点有了坐标或曲线有了方程,则说 明已经建立了*面直角坐标系( √ ) (2)求曲线的方程时,所建坐标系不同,则求得的方程也不同 ( √) (3)化简方程“|x|=|y|”为“y=x”是恒等变形(× ) (4)按照直接法求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验 ( ×)

2.已知点

A( - 3 , 0) , B(0 ,

5),

C ??4,

35? 3?



D??cos3 θ , 5tan θ ??,其中在曲线 5x2-9y2=45 上的点的个

数为( C )

A.1

B.2

C.3

D.4

解析:把点代入方程检验知点A、C、D成立,B点不成立.

3.如图,方程x+|y-1|=0表示的曲线是( B ) 解析:方程可化为|y-1|=-x≥0,∴x≤0,故选B.

4.(2014·珠海高二检测)动点 P 与*面上两定点 A(- 2,0),

B( 2,0)连线的斜率的积为定值-12,则动点 P 的轨迹方程为

__x2_2_+__y_2=__1_(_x_≠__±__2_)_____.

解析:设 P(x,y),则 kAP=x+y

(x≠- 2

2),kBP=x-y

(x≠2), 2

由题意知 kAP·kBP=-12.

即y x+

·y 2 x-

2=-12(x≠± 2),化简得x22+y2=1(x≠±

2).

曲线与方程的概念
(1)如果曲线C上的点的坐标(x,y)都是方程F(x,y)=0 的解,那么( D ) A.以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线上 B.以方程F(x,y)=0的解为坐标的点,有些不在曲线C上 C.不在曲线C上的点的坐标不是方程F(x,y)=0的解 D.坐标不满足F(x,y)=0的点不在曲线C上

(2)“以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上”是“曲 线C的方程是f(x,y)=0”的( B ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

[解析] (1)条件中曲线C上的点的坐标(x,y)都是方程F(x,y) =0的解.满足定义中的纯粹性,但是以方程的解为坐标的点 是否都在曲线上,这是无法判断的.故D正确. (2)根据曲线方程的概念,“曲线C的方程是f(x,y)=0”包含 “曲线C上的点的坐标都是这个方程f(x,y)=0的解”和“以 方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上”的两层含义, 可知是必要不充分条件.

方法归纳 解决此类问题要从两方面入手:(1)曲线上的点的坐标都是这 个方程的解,即直观地说“点不比解多”称为纯粹性;(2)以 这个方程的解为坐标的点都在曲线上,即直观地说“解不比 点多”,称为完备性,只有点和解一一对应,才能说曲线是 方程的曲线,方程是曲线的方程.

1.设方程f(x,y)=0的解集非空,如果命题“坐标满足方程f (x,y)=0的点都在曲线C上”是不正确的,则下列命题正确 的是( D ) A.坐标满足方程f(x,y)=0的点都不在曲线C上 B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x,y)=0 C.坐标满足方程f(x,y)=0的点有些在曲线C上,有些不在曲 线C上 D.一定有不在曲线C上的点,其坐标满足f(x,y)=0

解析:本题考查命题形式的等价转换.所给命题不正确,即 “坐标满足方程f(x,y)=0的点不都在曲线C上”是正确的. “不都在”包括“都不在”和“有的在,有的不在”两种情 况,故A、C错,B显然错.

方程与曲线的判断
方程(x+y-1) x2+y2-4=0 表示什么曲线? (链接教材第三章 4.1 例 1) [解] 由(x+y-1) x2+y2-4=0, 可得?????xx+2+yy-2-1=4≥0 0或 x2+y2-4=0, 即?????xx+ 2+yy-2≥1=4 0或 x2+y2=4.

由圆

x2+y2=4

的圆心到直线

x+y-1=0

的距离

d=

1= 2

22<2,

得直线与圆相交,∴?????xx+2+yy-2≥1=4 0, 表示直线在圆 x2+y2=4 外面的部分.

又∵x2+y2=4 表示圆心在原点,半径为 2 的圆.

∴原方程表示圆心在原点,半径为 2 的圆和斜率为-1,纵截距

为 1 的直线在圆 x2+y2=4 外面的部分.如图实线所示.

方法归纳 (1)判断方程表示什么曲线,必要时要对方程适当变形,变形 过程中一定要注意与原方程等价,否则变形后的方程表示的 曲线就不是原方程的曲线. (2)判断点是否在方程所表示的曲线上,只需将点的坐标代入 方程,若方程成立,则点在曲线上;若方程不成立,则点不 在曲线上.

2.(2014·黄冈高二检测)方程(x+y-1) x-y-3=0 表示的曲线是

( C) A.两条互相垂直的直线

B.两条射线

C.一条直线和一条射线

D.一个点(2,-1)

解析:由方程可得?????xx+ -yy- -13= ≥00或 x-y-3=0,

即 x+y-1=0(x≥2)或 x-y-3=0,

∴方程表示的曲线是一条直线和一条射线.

求轨迹方程
设圆C:(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的任意弦,求所 作弦的中点的轨迹方程. [解] 如图所示. 设 OQ 为过 O 点的任意一条弦,P(x,y)为其中点,则 CP⊥OQ,
OC 中点为 M??21,0??.

法一:直接法.
由|MP|=12|OC|=12,得方程??x-12??2+y2=14,由圆的范围知 0<
x≤1. 法二:定义法. ∵∠OPC=90°,
∴动点 P 在以点 M??21,0??为圆心,OC 为直径的圆上,由圆的方 程得??x-12??2+y2=14(0<x≤1).

法三:代入法. 设 Q(x1,y1),则
???xy==yx2211,??????xy11==22yx.,又∵(x1-1)2+y21=1,
∴(2x-1)2+(2y)2=1(0<x≤1).

法四:参数法. 设动弦 OQ 的方程为 y=kx,代入圆的方程得(x-1)2+k2x2=1. 即(1+k2)x2-2x=0, ∴x=x1+2 x2=1+1 k2,y=kx=1+kk2,消去 k 即可得到(2x-1)2+ (2y)2=1(0<x≤1).

方法归纳 求轨迹方程关键是建立恰当的坐标系(已给的不需建系), 常见的建系方法有: ①以已知定点为原点; ②以已知定直线为坐标轴(x轴或y轴); ③以已知线段所在的直线为坐标轴(x轴或y轴),以已知线 段的中点为原点; ④以已知互相垂直的两定直线为坐标轴; ⑤让尽量多的已知点在坐标轴上. 总之一句话:遵循垂直性和对称性原则.

3.已知在直角三角形ABC中,角C为直角,点A(-1,0),点 B(1,0),求满足条件的点C的轨迹方程.

解:如图,设 C(x,y),则A→C=(x+1,y),B→C=(x-1,y). ∵∠C 为直角, ∴A→C⊥B→C, 即A→C·B→C=0. ∴(x+1)(x-1)+y2=0. 化简得 x2+y2=1. ∵A、B、C 三点要构成三角形, ∴A、B、C 不共线,∴y≠0, ∴满足条件的点 C 的轨迹方程为 x2+y2=1(y≠0).

两曲线的交点问题
求曲线2y2+3x+3=0与曲线x2+y2-4x-5=0的公 共点.

[解] 由?????2xy2+2+y32-x+4x3-=50=,0 ②



得 2x2-11x-13=0,

即(2x-13)(x+1)=0,得 x1=-1,x2=123.



x=-1

代入①得???x=-1, ??y=0.

将 x2=123代入①方程无解.

∴两曲线只有一个公共点(-1,0).

方法归纳 曲线与曲线的交点问题需要解方程组.

4.已知直线l:y=x+b与曲线C:y=有两个公共点,求b的 取值范围.
?y=x+b, 解:法一:由方程组?
?y= 1-x2(y≥0),
得?????yx=2+xy+2=b,1(y≥0). 消去 x,得到 2y2-2by+b2-1=0(y≥0).

l 与 C 有两个公共点,等价于此方程有两个不等的非负实数解,

Δ =4b2-8(b2-1)>0,

????? 可得

y1+y2=b>0, y1y2=b2-2 1≥0,

解得 1≤b< 2.

法二:在同一直角坐标系内作出 y=x+b 与 y= 1-x2的图形,

易得 b 的取值范围为 1≤b< 2.

因不注意方程等价变形或忽略隐含条 易错警示
件而致误
(2014·安阳高二检测)已知点Q(2,0)和圆x2+y2=1,动 点M到圆O的切线长等于圆O的半径与|MQ|的和,求动点M 的轨迹方程.

[解] 如图,过 M 作圆的切线 MN,N 为切点,设 M(x,y).由 题意知|MN|=|MQ|+|ON|. 由于|MN|= |OM|2-|ON|2= x2+y2-1, |MQ|= (x-2)2+y2,|ON|=1, ∴ x2+y2-1= (x-2)2+y2+1.

两边*方整理得 2x-3= (x-2)2+y2, 再两边*方整理得 3x2-y2-8x+5=0. 即:9(x-43)2-3y2=1. ∵2x-3= (x-2)2+y2中 2x-3≥0, ∴x≥32. ∴动点 M 的轨迹方程为 9(x-43)2-3y2=1(x≥32).

[错因与防范] (1)本例易对方程*方后,忽略去掉增解而致 误. (2)求曲线方程要注意两个等价:一是所列方程与题目要求 是否等价;二是对方程化简变形是否等价变形.

5.已知等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个顶点是B(3, 5),求另一个顶点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么?
解:设另一顶点 C 的坐标为(x,y),依题意,得|AC|=|AB|, 由两点间距离公式,得
(x-4)2+(y-2)2= (4-3)2+(2-5)2. 化简,得(x-4)2+(y-2)2=10. 因为 A,B,C 为三角形的三个顶点,

所以 A,B,C 三点不共线, 即点 B,C 不能重合,且 B,C 不能为⊙A 的一条直径的两个 端点. ①因为 B,C 不重合,所以点 C 的坐标不能为(3,5), ②又因为点 B 不能为⊙A 的一条直径的两个端点, 由x+2 3=4,得 x=5.

点 C 的坐标不能为(5,-1).如图,故点 C 的轨迹方程为

(x-4)2+(y-2)2=10

????????xy==53

和?????yx==-5 1

除外??. ?

点 C 的轨迹是以点 A(4,2)为圆心,

以 10为半径的圆,除去点(3,5),(5,-1).

技法导学

消参法求轨迹方程

如图所示,已知椭圆2x42+1y62 =1,直线 l:x=12,P 是 l 上任意一点,射线 OP 交椭圆于点 R,又点 Q 在线段 OP 上, 且满足|OQ|·|OP|=|OR|2,当点 P 在 l 上运动时,求点 Q 的轨迹 方程.

[解] 设 P(12,yP),R(xR,yR),Q(x,y),∠POx=α.

∵|OR|2=|OQ|·|OP|,∴??co|Os Rα|

??2=co|Os Qα|

· |OP| cos α

.

由题意知 xR>0,x>0,∴x2R=x·12.①

又∵O,Q,R 三点共线,∴kOQ=kOR,即yx=yxRR.② 由①②得 y2R=12xy2.③

∵点 R(xR,yR)在椭圆2x42+1y62 =1 上, ∴2x4R2 +y12R6=1.④ 由①③④得 2(x-1)2+3y2=2(x>0), ∴点 Q 的轨迹方程是 2(x-1)2+3y2=2(x>0).

[ 感悟 提高 ] (1)通 过引入参 数 (中间变 量 ) 建立参 数方程 ?????xy==gf((θθ)),θ 为参数,通过消去参数(中间变量)从而得到动 点(x,y)轨迹的方程 F(x,y)=0 的方法,叫作消参法. (2)本例参数和关系式较多,如何按一定的思路消去这些参数 是难点.

谢谢


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