2018_2019学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1.2椭圆的简单性质一课件北师大版选修2_1ppt版本

发布时间:2021-07-30 13:52:24

第三章 圆锥曲线与 方程
1.2 椭圆的简单性质(一)

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第三章 圆锥曲线与 方程

1.了解用代数法研究椭圆的几何性质.
学* 2.理解椭圆的简单几何性质.(重点) 目标 3.掌握利用椭圆的简单几何性质解决一些简单问
题.(难点)

1.通过几何图形观察、代数方程验证的学*过程,体
学法 会数形结合的数学思想. 指导 2.通过几何性质的代数研究,养成辩证统一的世界
观.

1.椭圆的简单几何性质

焦点的 位置

焦点在x轴上

图形

焦点在y轴上

焦点的 位置
标准方 程

焦点在x轴上 xa22+yb22= 1 (a>b>0)

范围

|x|≤a,|y|≤b

顶点 _(±__a_,__0_)_、__(_0_,__±__b_)

焦点在y轴上 ya22 +xb22= 1 (a>b>0) |y|≤a,|x|≤b (_0_,__±__a_)_、__(±__b_,__0_)_

焦点的 位置 轴长 焦点 焦距 对称性
离心率

焦点在x轴上

焦点在y轴上

长轴长=____2_a__,短轴长=____2_b__

___(±__c_,__0_)___

__(_0_,__±__c_)___

2c

对称轴:__坐__标__轴____,对称中心:原点
c e=___a____∈(0,1)

2.当椭圆的离心率越__大_____,则椭圆越扁; 当椭圆的离心率越___小_____,则椭圆越接*于圆. 3.(1)椭圆上到中心距离最*和最远的点:短轴端点B1或B2到 中心O的距离最*;长轴端点A1或A2到中心O的距离最远. (2)椭圆上一点与焦点距离的最值:点(a,0),(-a,0)与焦点 F1(-c,0)的距离分别是椭圆上的点与焦点F1的最大距离和最 小距离.
(3)在椭圆上任取一点M,当M为短轴端点时,两焦点的张角 最大,即∠F1MF2取到最大值.

1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)椭圆的顶点是椭圆与坐标轴的交点( √ ) (2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a+c,最小值为a-c ( √) (3)椭圆的焦点一定在长轴上( √ ) (4)椭圆的离心率决定椭圆的形状(即扁*程度)( √ ) (5)a,b,c,e中任两个量一定,椭圆的大小和形状一定( √ )

2.(2014·雅安市高二期末)椭圆x2+y2=1 的离心率是( 42

C

)

A. 2 4

B.1 2

C. 2 2

解析:

e2=ca22=a2-a2

b2=4- 4

2=1.∴ 2

e=

2. 2

D. 3 2

3.(2014·衡阳八中高二期末)椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,

长轴长为 4 2,焦距为 4,则该椭圆的方程为( C )

A. x2 +y2 =1 32 16

B.x2 +y2=1 12 8

C. x2+y2= 1 84

D.x2 +y2=1 12 4

解析:2a=4 2,a=2 2,2c=4,c=2,∴b2=a2-c2=(2 2)2 -22=4,又焦点在 x 轴上,故椭圆方程为x2+y2=1.
84

4.在如图所示的图形中,等于椭圆长半轴的线段有 _O__A_1_,__O_A__2,__F__1B__1,__F__1B__2,__F__2B__1,__F__2B__2 _________.

利用椭圆的标准方程研究几何性质
求椭圆m2x2+4m2y2=1(m>0)的长轴长、短轴长、焦点 坐标、顶点坐标和离心率. (链接教材第三章1.2例4)

[解] 椭圆的方程 m2x2+4m2y2=1(m>0)可转化为
x2 + y2 =1, 11 m2 4m2

∵m

2<4m2,∴ 1 m

1 2>4m

2,∴椭圆的焦点在

x

轴上,并且长半轴长

a=m1 ,短半轴长

b= 1 ,半焦距长 2m

c=

3 .

2m

∴椭圆的长轴长 2a=m2 ,短轴长 2b=m1 ,焦点坐标为??-2m3,0??,

??2m3,0??, 顶点坐标为??m1 ,0??,??-m1 ,0??,??0,-21m??,??0,21m??.

3

离心率

e=ca=21m=

3. 2

m

方法归纳 已知椭圆的方程讨论其性质时,应先将方程化成标准形式, 不确定的要分类讨论,找准a与b,才能正确地写出焦点坐 标、顶点坐标等.

1.设椭圆方程为 mx2+4y2=4m(m>0)的离心率为1,试求椭圆的 2

长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标. 解:椭圆方程可化为x2+y2=1.
4m

(1)当 0<m<4 时,a=2,b= m,c= 4-m,

∴e=ac=

4-m=1,∴m=3,∴b= 22

3,c=1,

∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别是 4,2 3,焦点坐标为 F1(- 1,0),F2(1,0),顶点坐标为 A1(-2,0),A2(2,0),B1(0,-
3),B2(0, 3).

(2)当 m>4 时,a= m,b=2,

∴c= m-4,

∴e=ac=

m-4=1,解得 m=16,∴a=4 3,c=2 3,

m2

3

3

3

∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为8 3,4,焦点坐标为 3

F1

??0,-2

3

3

? ?



F2

??0,2

3

3

? ?













A1

??0,-4

3

3

? ?



A2??0,43 3??,B1(-2,0),B2(2,0).

由椭圆的几何性质求方程
求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)经过(3,0)、(0,-5)两点; (2)a=6,e=1;
3 (3)一个焦点到长轴两端点的距离分别是 10 和 4. (链接教材第三章 1.2 例 5、例 6)

[解] (1)由题意知焦点在 y 轴上,且 a=5,b=3, ∴所求方程为y2 +x2=1.
25 9

(2)∵a=6,e=c=1,∴c=2. ∴b2=a2-c2=36-4=32. a3

故所求方程为x2 +y2 =1 或y2 +x2 =1.

36 32

36 32

(3)由题

意知???a+ ??a-

c= c=

10 .
4

∴ a= 7, c= 3, b2= a2- c2= 40.

所求方程为x2 +y2 =1 或y2 +x2 =1.

49 40

49 40

方法归纳 由几何性质求椭圆的标准方程: (1)用待定系数法; (2)注意焦点位置不能确定时,应分类讨论.一般步骤是: ①求出a2、b2的值;②确定焦点所在的坐标轴;③写出标 准方程.

2.(1)(2014·大理高二检测)已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍, 且经过点 A(2,0),求椭圆的标准方程. (2)焦点与长轴较接*的端点的距离为 10- 5,焦点与短轴两 端点的连线互相垂直,求椭圆的标准方程.

解:(1)当焦点在 x 轴上时,a=2,b=1.椭圆的标准方程为x2+ 4
y2=1.当焦点在 y 轴上时,b=2,a=4,椭圆的标准方程为y2 + 16
x2 = 1. 4
(2)由题意,a-c= 10- 5,b=c,a2=b2+c2,所以解得 a2 =10,b2=5,焦点在 x 轴上时,椭圆标准方程为x2 +y2=1,焦
10 5 点在 y 轴上时,椭圆标准方程为y2 +x2=1.
10 5

求椭圆的离心率
如图所示,椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,A ,B是椭圆的顶点,P是椭圆上一点,且PF1⊥x轴,PF2∥AB, 求此椭圆的离心率.

[解] 设椭圆的方程为xa22+yb22=1(a>b>0).

如题图所示,则有 F1(-c,0),F2(c,0),A(0,b),B(a,0),

直线

PF1 的方程为

x=- c,代入方程xa22 +yb22= 1,得

y= ±b2, a

∴P??-c,ba2??.

又 PF2∥AB,∴△PF1F2∽△AOB. ∴ |PF1| =|AO|,∴ b2 =b,∴b=2c.
|F1F2| |OB| 2ac a

∴ b2= 4c2,∴ a2- c2= 4c2, ∴ca22=15.∴ e=ca=

5. 5

方法归纳

求椭圆离心率的方法: (1)直接求出 a 和 c,再求 e=c,也可利用 e=
a

1-ba22求 解.

(2)若 a 和 c 不能直接求出,则看是否可利用条件得到 a 和 c 的 齐次等式关系 ,然后整理成c 的形式 ,并将其视为整体 ,就变成
a

了关于离心率 e 的方程,进而求解.

3. (1)(2014·濮阳市高二期 末)椭圆xa22+yb22 = 1(a>b>0)的左、右顶点

分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B| 成等比数列,则此椭圆的离心率为( B )

1 A.

B. 5

4

5

C.1

D. 5-2

2

(2)(2013·高考四川卷)从椭圆xa22+yb22=1(a>b>0)上一点 P 向 x 轴作

垂线,垂足恰为左焦点 F1,A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 AB∥OP(O 是坐标原点),则该 椭圆的离心率是( C )

A. 2 4

B.1 2

2 C.
2

D. 3 2

解析 :(1)由题意知 |AF1|= a- c,|F1 F2|= 2c,|F1 B|= a+ c,且三 者成等比数列,则|F1F2|2=|AF1|·|F1B|,即 4c2=a2-c2,a2=

5c2,∴e2=1,e= 5,故选 B.

5

5

(2)已知点 P(-c,y)在椭圆上,代入椭圆方程,得 y=b2(负值舍 a

去),故 P(-c,ba2).



AB∥

OP,∴

kAB=

kOP,即-ba=-

b2,则 ac

b= c,∴ a2= b2+ c2

=2c2,则c= 2,即该椭圆的离心率是 2,故选 C.

a2

2

易错警示 因忽略讨论椭圆焦点位置致误



k=

(2014·大理高二检测)若椭圆 __43_或__-__1_.

x2 +y2= k+4 4

1

的离心率为1, 2

[解析] 当焦点在 x 轴上时,a2=k+4,b2=4,



c2=

k,∵

e=1, 2

∴ca22=14,即k+k

=1,∴ 44

k=4. 3

当焦点在 y 轴上时,a2=4,b2=k+4,



c2=-

k.由

e=1, 2

∴ca22=14,∴-4

k=1.∴ 4

k=-

1.

综上可知,k=4或 k=-1. 3

[错因与防范] 本例易主观认为焦点在 x 轴,漏掉另一个解- 1.从而导致答案不全面.对椭圆方程x2+y2=1,当分母含参数
mn 时,一要注意隐含条件分母 m>0,n>0,m≠n,二要注意讨论 焦点(即分母大小).

4.已知椭圆长轴与短轴之和为18,焦距为6,求椭圆的标 准方程. 解:设椭圆长轴长,短轴长,焦距分别为 2a,2b,2c,

??2a+2b=18 则?2c=6 .
??a2 = b2+ c2

解得 a=5,b=4,由于焦点可能在 x 轴,也可能在 y 轴,

故其标准方程为x2 +y2 =1 或y2 +x2 =1.

25 16

25 16

技法导学

求椭圆离心率的范围

如图,椭圆xa22+yb22=1(a>b>0)的两焦点为 F1,F2,若椭 圆上存在一点 P,使 PF1⊥PF2,求椭圆离心率 e 的取值范围.

[解] 设 P(x0,y0),∵F1(-c,0),F2(c,0),
∵P→F1= (- c- x0,- y0),P→F2=(c- x0,- y0). ∵ PF1⊥PF2,
∴P→F1·P→F2= 0, ∴ (- c- x0)(c- x0)+(- y0)(- y0)= 0, 即 x20+y20-c2=0.
又∵ax220+yb202=1,∴y20=b2??1-xa202 ??, ∴x20+b2??1-xa202 ??-c2=0,

整理得

x20=a2



c2- c2

b2)=a2(

2c2- c2

a2) .

∵点

P

在椭圆上,∴

0≤

x20≤

a2.∴

0≤a2(

2c2- c2

a2)≤

a2

.

∴?????2ac2≥2-ca2 2≥

0, .

∴1≤ 2

e2≤

1.

又∵0<e<1,∴ 2≤e<1. 2

即 e 的取值范围为[ 2,1). 2

[感悟提高] 求椭圆离心率范围问题的基本思路是构造关于 a,b,c的不等式,通过解不等式来求离心率的范围.

谢谢


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